Question

12．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）若AB=$\sqrt{2}$，求点A到平面BCE的距离．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=G，连接GF．由BF⊥面ACE，得到BF⊥CE，再由BE=BC，得到F为EC的中点．在矩形ABCD中，G为AC中点，由三角形的中位线可得到GF∥AE．再由线面平行的判定定理得证．
（2）证明AE⊥平面BCE，即可得出结论．

解答 （1）证明：设AC∩BD=G，连接GF．
因为BF⊥面ACE，CE?面ACE，所以BF⊥CE．
因为BE=BC，所以F为EC的中点．
在矩形ABCD中，G为AC中点，所以GF∥AE．
因为AE?面BFD，GF?面BFD，所以AE∥面BFD．
（2）解：因为BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
所以BF⊥AE，
因为DA⊥平面ABE，CB∥DA，AE?平面ABE，
所以AE⊥BC，
因为BF∩BC=B，
所以AE⊥平面BCE，
所以AE⊥BE，
因为AB=$\sqrt{2}$，
所以AE=1，
即点A到平面BCE的距离为1．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力．