Question

20．已知正方形ABCD的边长为8，空间有一点M（不在平面ABCD内）满足|MA|+|MB|=10，则三棱锥M-ABC的体积的最大值是32．

Answer 1

分析 由已知点M（不在平面ABCD内）满足|MA|+|MB|=10，可得点M在以A，B为焦点的椭球上（去掉在平面ABCD内的点），球心为O．当MO⊥平面ABCD时，MO=$\sqrt{A{M}^{2}-A{O}^{2}}$，此时三棱锥的高最大，即可得出．

解答 解：由已知点M（不在平面ABCD内）满足|MA|+|MB|=10，可得点M在以A，B为焦点的椭球上（去掉在平面ABCD内的点），球心为O．
当MO⊥平面ABCD时，MO=$\sqrt{A{M}^{2}-A{O}^{2}}$=3，此时三棱锥的高最大，
因此三棱锥A-BCM的体积的最大值=$\frac{1}{3}•MO•{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×3×\frac{1}{2}×{8}^{2}$=32．
故答案为：32．

点评 本题考查了椭球的定义及其性质、线面面面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．