Question

11、已知f（x）=3^x-b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2，1），则F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域为

[2，10]

．

Answer 1

分析：由f（x）=3^x-b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2，1），可求出b的值，再求出f（x）的反函数，整理出F（x）的解析式，利用换元法求最值即可．

解答：解：由题意：f（2）=3^2-b=1，所以b=2，所以f（x）=3^x-2，所以f^-1（x）=2+log₃x，
因为f（x）中2≤x≤4，所以2＜f^-1（x）＜4，所以0＜log₃x＜2
F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）=（2+log₃x）²-2-log₃x²=（log₃x）²+2log₃x+2
因为0＜log₃x＜2，所以F（x）∈[2，10]
故答案为：[2，10]

点评：本题考查求函数的反函数、换元法求函数的值域等知识，难度一般．反函数在新教材中的要求：了解同底的指对函数互为反函数即可．