【题目】给定椭圆,称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆
的“准圆”.若椭圆
的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到
的距离为
.
(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(2)点是椭圆
的“准圆”上的动点,过点
作椭圆的切线
交“准圆”于点
.
①当点为“准圆”与
轴正半轴的交点时,求直线
的方程并证明
;
②求证:线段的长为定值.
【答案】(1),
,(2)(ⅰ)
,(ⅱ)详见解析.
【解析】试题分析:(1)根据题目条件可求出的值,进而可得出椭圆
的方程和其“准圆”方程;(2)①根据条件先求出点
的坐标并设出直线
的方程,再联立椭圆
的方程,并结合
,即可求得
方程并进而证明
;②根据前面的结论,并注意对直线
的斜率进行讨论,证明线段
总是准圆
的直径,从而证得线段
的长为定值.
试题解析:(1),
椭圆方程为
,
准圆方程为.
(2)(ⅰ)因为准圆与
轴正半轴的交点为
,
设过点且与椭圆相切的直线为
,
所以由得
.
因为直线与椭圆相切,
所以,解得
,
所以方程为
.
,
.
(ⅱ)①当直线中有一条斜率不存在时,不妨设直线
斜率不存在,
则:
,
当:
时,
与准圆交于点
,
此时为
(或
),显然直线
垂直;
同理可证当:
时,直线
垂直
②当斜率存在时,设点
,其中
.
设经过点与椭圆相切的直线为
,
所以由
得.
由化简整理得
,
因为,所以有
.
设的斜率分别为
,因为
与椭圆相切,
所以满足上述方程
,
所以,即
垂直.
综合①②知:因为经过点
,又分别交其准圆于点
,且
垂直.
所以线段为准圆
的直径,
,
所以线段的长为定值.
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形.
(1)证明:AB⊥PC;
(2)若AB=2PC= ,求三棱锥P﹣ABC的体积.
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【题目】若函数对定义域内的任意
,当
时,总有
,则称函数
为单调函数,例如函数
是单纯函数,但函数
不是单纯函数,下列命题:
①函数是单纯函数;
②当时,函数
在
是单纯函数;
③若函数为其定义域内的单纯函数,
,则
④若函数是单纯函数且在其定义域内可导,则在其定义域内一定存在
使其导数
,其中正确的命题为__________.(填上所有正确的命题序号)
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【题目】如图,已知长方形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM,E为BD的中点.
(1)求证:BM⊥平面ADM;
(2)求直线AE与平面ADM所成角的正弦值.
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【题目】某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业,在一个开学季内,每售出盒该产品获利润
元;未售出的产品,每盒亏损
元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示,该同学为这个开学季购进了
盒该产品,以
(单位:盒,
)表示这个开学季内的市场需求量,(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.
(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量的中位数;
(2)将表示为
的函数;
(3)根据直方图估计利润不少于元的概率.
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【题目】从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高,据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)、第二组[160,165);…第八组[190,195],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第六组比第七组多1人,第一组和第八组人数相同.
(I)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图;
(Ⅱ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为x、y,求满足|x﹣y|≤5的事件概率.
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【题目】如图,在正四面体ABCD中, 是
的中心,
分别是
上的动点,且
.
(1)若平面
,求实数
的值;
(2)若,正四面体ABCD的棱长为
,求平面
和平面
所成的角余弦值.
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