【题目】如图,在正四面体ABCD中, 是
的中心,
分别是
上的动点,且
.
(1)若平面
,求实数
的值;
(2)若,正四面体ABCD的棱长为
,求平面
和平面
所成的角余弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)本问主要考查线面平行性质定理的应用,若平面
,那么经过OE的平面与平面ACD相交,则OE平行于交线,因此需要找到经过OE的平面,由
是正
的中心,易知O为BC的三等分点,因此能确定E点位置;(2)本问主要考查用空间向量求二面角问题,当
时,点
分别是
的中点,以O为原点,过O作CD的垂线为x轴,过O作BC的垂线为y轴,OA为z轴,建立空间直角直角坐标系,则易得出下列各点坐标
,
,由此求出相关向量的坐标,再分别求出平面
和平面
的法向量,根据两个平面的法向量可以求夹角的余弦,再由图观察向量成角的余弦与二面角余弦之间的关系即可.
试题解析:(1)取的中点
,连接
,
∵是正
的中心 ∴点
在
上,且
,
∵当时,
平面
,
∴∴
,即
,
∴.
(2)当时,点
分别是
的中点.
建立如图所示的空间直角坐标系,依题设
,则
,
,
则,
设平面的法向量为
则
,
∴,
不妨令,则
,
又平面的一个法向量为
.
设所求二面角为,则
.
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【题目】给定椭圆,称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆
的“准圆”.若椭圆
的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到
的距离为
.
(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(2)点是椭圆
的“准圆”上的动点,过点
作椭圆的切线
交“准圆”于点
.
①当点为“准圆”与
轴正半轴的交点时,求直线
的方程并证明
;
②求证:线段的长为定值.
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【题目】a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所称角的最小值为45°;
④直线AB与a所称角的最小值为60°;
其中正确的是________。(填写所有正确结论的编号)
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【题目】平面内给定三个向量 =(3,2),
=(﹣1,2),
=(4,1).回答下列问题:
(1)若( +k
)∥(2
﹣
),求实数k;
(2)设 =(x,y)满足(
﹣
)∥(
+
)且|
﹣
|=1,求
.
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【题目】通过对某城市一天内单次租用共享自行车的时间分钟到
钟的
人进行统计,按照租车时间
,
,
,
,
分组做出频率分布直方图,并作出租用时间和茎叶图(图中仅列出了时间在
,
的数据).
(1)求的频率分布直方图中的
;
(2)从租用时间在分钟以上(含
分钟)的人数中随机抽取
人,设随机变量
表示所抽取的
人租用时间在
内的人数,求随机变量
的分布列及数学期望.
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【题目】已知A、B、C的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C(3cosα,3sinα).
(1)若α∈(﹣π,0),且| |=|
|,求角α的大小;
(2)若 ⊥
,求
的值.
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