Question

6．在△ABC中，若A=$\frac{π}{4}$，cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，D是AB的中点，则CD=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由B的范围和平方关系求出sinB的值，由内角和定理的两角和的正弦公式求出sin∠ACB，在△ABC中正弦定理求出AB，可得AD，在△BCD中由余弦定理求出CD的长．

解答 解：如图所示：
∵0＜B＜π，cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
又A=$\frac{π}{4}$，A+B+∠ACB=π，
∴sin∠ACB=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA
=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
在三角形ABC中，由正弦定理得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AB}{sin∠ACB}$，
则AB=$\frac{BC•sin∠ACB}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=6，
∵D是AB的中点，∴AD=BD=3，
在△BCD中，由余弦定理得CD²=BD²+BC²-2BD•BC•cosB
=9+20-2×$3×2\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=5，
则CD=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及两角和的正弦公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键．