Question

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数fk(x)=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，取函数f（x）=3-x-e^-x．若对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_K（x）=f（x），则（　　）

• A、K的最大值为2
• B、K的最小值为2
• C、K的最大值为1
• D、K的最小值为1

Answer 1

分析：由函数的解析式可以看出，此分段函数的解析式是取两个函数中函数值较小的那一个，若对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_K（x）=f（x），说明f（x）=3-x-e^-x有最大值，求出其最大值，即得K的最小值

解答：解：由题意取函数f（x）=3-x-e^-x．若对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_K（x）=f（x），故K≥f（x）_max
∵f′（x）=-1+e^-x，令f′（x）＞0得x＜0，令f′（x）＜0得x＞0，
∴函数f（x）=3-x-e^-x在x=0处取到最大值，为f（0）=3-0-e^-0=2
故K的最小值为2
故选B

点评：本题考查新定义及指数型函数的最值的求法，求解本题的关键是理解新定义的内容，以及用导数判断出函数的单调性确定函数的最值．