Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a＜0时，求函数f（x）在 上的最小值；
（3）记函数y=f（x）的图象为曲线C，设点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲线C上的不同两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂直交曲线C于点N，判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx，

∴f′（x）=2ax+（1﹣2a）﹣ = ，

∵a＞0，x＞0，

∴2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，

∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）

（2）解：当a＜0时，由f′（x）=0，得x1=﹣ ，x2=1，

①当﹣ ＞1，即﹣ ＜a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，

∴f（x）在[ ，1]上的最小值为f（1）=1﹣a．

②当 ≤﹣ ≤1，即﹣1≤a≤﹣ 时，

f（x）在[ ，﹣ ]上是减函数，在[﹣ ，1]上是增函数，

∴f（x）的最小值为f（﹣ ）=1﹣ +ln（﹣2a）．

③当﹣ ＜ ，即a＜﹣1时，f（x）在[ ，1]上是增函数，

∴f（x）的最小值为f（ ）= ﹣ a+ln2．

综上，函数f（x）在区间[ ，1]上的最小值为：

f（x）min= ；

（3）解：设M（x0，y0），则点N的横坐标为x0= ，

直线AB的斜率k1= = [a（x12﹣x22）+（1﹣2a）（x1﹣x2）+lnx2﹣lnx1]

=a（x1+x2）+（1﹣2a）+ ，

曲线C在点N处的切线斜率k2=f′（x0）=2ax0+（1﹣2a）﹣ =a（x1+x2）+（1﹣2a）﹣ ，

假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k1=k2，

即 =﹣ ，

∴ln = = ，

不妨设x1＜x2， =t＞1，则lnt= ，

令g（t）=lnt﹣ （t＞1），则g′（t）= ﹣ = ＞0，

∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，又g（1）=0，

∴g（t）＞0，即lnt= 不成立，

∴曲线C在点N处的切线不平行于直线AB

【解析】（1）求出函数f（x）的导函数，由a＞0，定义域为（0，+∞），再由f′（x）＞0求得函数f（x）的单调增区间；（2）当a＜0时，求出导函数的零点﹣ ，1，分﹣ ＞1， ≤﹣ ≤1，﹣ ＜ ，讨论函数f（x）在区间[ ，1]上的单调性，求出函数的最小值，最后表示为关于a的分段函数；（3）设出线段AB的中点M的坐标，得到N的坐标，由两点式求出AB的斜率，再由导数得到曲线C过N点的切线的斜率，由斜率相等得到ln = ，令 =t后构造函数g（t）=lnt﹣ （t＞1），根据函数的单调性判断不成立．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．