Question

7．已知a∈R，求函数f（x）=$\frac{a}{x}$+ln x-1在区间（0，e]上的最小值．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出区间上的最小值．

解答 解：f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
∴f（x）在（0，e）无最小值，
②0＜a＜e时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
∴函数f（x）在（0，a）递减，在（a，e]递增，
∴f（x）_min=f（a）=1+lna-1，
③a≥e时，f′（x）＜0，
f（x）在（0，e]单调递减，
∴f（x）_min=f（e）=$\frac{a}{e}$．

点评 本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，是一道综合题．