Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²-（a+2）x+b（a，b∈R）在[-1，1]上是减函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设

1

2

＜a＜1，若对任意实数u、v∈[a-1，a]，不等式|f（u）-f（v）|≤

29

12

恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得x∈[-1，1]时，f′（x）=x²+ax-a-2≤0恒成立，由此能求出a≥-

1

2

．
（2）由已知得

1

2

＜a＜1，-

1

2

＜a-1＜0，[a-1，a]?[-1，1]，f（x）在[a-1，a]上是减函数，从而得到f_max-f_min≤

29

12

，由此能求出实数a的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²-（a+2）x+b，
∴f′（x）=x²+ax-a-2，
由函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²-（a+2）x+b（a，b∈R）在[-1，1]上是减函数得：
x∈[-1，1]时，f′（x）=x²+ax-a-2≤0恒成立．（3分）
∴

f′(1)=1+a-a-2≤0 f′(-1)=1-a-a-2≤0

，
解得a≥-

1

2

．（6分）
（2）∵

1

2

＜a＜1，∴-

1

2

＜a-1＜0，
∴[a-1，a]?[-1，1]，
故f（x）在[a-1，a]上是减函数，（7分）
∴f_max=f（a-1）=

1

3

（a-1）³+

1

2

a（a-1）²-（a+2）（a-1）+b，
f_min=f（a）=

1

3

a³+

1

2

a³-a（a+2）+b．
依条件有f_max-f_min≤

29

12

，
∴f_max-f_min=-2a²+

5

2

a+

5

3

≤

29

12

，（11分）
即8a²-10a+3≥0，
a≥

3

4

或a≤

1

2

，
∵

1

2

＜a＜1，∴a_min=

3

4

．（13分）

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．