Question

若函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，
（1）a=0时，若x∈[1，+∞）有f（x）-m≥0，求实数m的取值范围；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设a≤-2，证明：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）化简，由基本初等函数的性质可得m的取值范围；（2）求导并讨论a的取值，从而确定单调性，（3）将问题化为导数最值问题，导数的最值借助基本不等式解答，从而证明不等式成立．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+1，
∵x∈[1，+∞），∴lnx+1≥1，
则由题意可知，m≤1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

a(2x2+1)+1

x

，
①当a≤-1时，f′（x）＜0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
②当-1＜a＜0时，x∈[

-2a-2a2

-2a

，+∞）时，f′（x）＜0，
f（x）在[

-2a-2a2

-2a

，+∞）上单调递减；
x∈（0，

-2a-2a2

-2a

]时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，

-2a-2a2

-2a

]上单调递增；
③当a≥0时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）证明：当a≤-2时，
f′（x）=

a+1

x

+2ax=-[（-

a+1

x

）+（-2ax）]≤-2

2a(a+1)

≤-4，
则|f′（x）|≥4，
则对任意x₁，x₂∈（0，+∞），

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

≥4，
即|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

点评：本题综合考查了导数的综合应用及数学中的转化的思想，同时考查了恒成立问题，属于难题．