【题目】(本小题满分14分)
在四棱锥P-ABCD中,BC∥AD,PA⊥PD,AD=2BC,AB=PB, E为PA的中点.
(1)求证:BE∥平面PCD;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)要证明BE∥平面PCD,就是要在平面PCD上找到一条与BE平行的直线,由判定定理,从已知,
又是
中点,因此我们取
中点
,可得
,且
,从而有
且
,于是
是平行四边形,
,平行线找到了;(2)要证明平面PAB⊥平面PCD,而题中已知PA⊥PD,由面面垂直的性质,
中一定有一条直线与其中一个平面垂直,由已知
,因此
,再由(1)
,这样结合
就有
,于是有面面垂直.
试题解析:(1)取PD的中点F,连接EF,CF.
因为E为PA的中点,所以EF∥AD,EF=AD.
因为BC∥AD,BC=AD,
所以EF∥BC,EF=BC.
所以四边形BCFE为平行四边形.
所以BE∥CF. 4分
因为BE平面PCD,CF平面PCD,
所以BE∥平面PCD. 6分
(2)因为AB=PB,E为PA的中点,所以PA⊥BE.
因为BE∥CF,所以PA⊥CF. 9分
因为PA⊥PD,PD平面PCD,CF平面PCD,PD∩CF=F,
所以PA⊥平面PCD. 12分
因为PA平面PAB,所以平面PAB平面PCD. 14分
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【题目】有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定:大桥上的车距与车速
和车长
的关系满足
为正的常数).假定车身长为
,当车速为
时,车距为
个车身长.
(1)写出车距关于车速
的函数关系式;
(2)应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?
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【题目】已知抛物线(
),焦点
到准线的距离为
,过点
作直线
交抛物线
于点
(点
在第一象限).
(Ⅰ)若点焦点
重合,且弦长
,求直线
的方程;
(Ⅱ)若点关于
轴的对称点为
,直线
交x轴于点
,且
,求证:点B的坐标是
,并求点
到直线
的距离
的取值范围.
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【题目】已知点,椭圆
:
的离心率为
,
是椭圆的焦点,直线
的斜率为
,
为坐标原点.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)设过点的直线
与
相交于
两点,当
的面积最大时,求
的方程.
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【题目】已知过点且斜率为
的直线
与圆
:
交于点
两点.
(1)求的取值范围;
(2)请问是否存在实数k使得(其中
为坐标原点),如果存在请求出k的值,并求
;如果不存在,请说明理由。
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【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)令cn=,Tn是数列{cn}的前n项和,求证:
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【题目】如图,在梯形中,
,
,
,四边形
为矩形,平面
平面
,
.
(1)求证: 平面
;
(2)点在线段
上运动,设平面
与平面
所成二面角的平面角为
,试求
的取值范围.
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【题目】设函数f(x)=|ax-x2|+2b(a,b∈R).
(1)当b=0时,若不等式f(x)≤2x在x∈[0,2]上恒成立,求实数a的取值范围;
(2)已知a为常数,且函数f(x)在区间[0,2]上存在零点,求实数b的取值范围.
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