Question

【题目】已知函数.

（1）若在处取得极小值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围；

（3）求证：当时，.

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数，由求之即可；（2）分、、分别讨论函数的单调性，由单调性求出函数在区间上的最小值，由求之即可；（3）由（2）知令，当时，，（当且仅当时取“”）当时，，令代入相加即可.

试题解析： （1）∵的定义域为，，

∵在处取得极小值，∴，即.

此时，经验证是的极小值点，故.

（2）∵，

①当时，，∴在上单调递减，

∴当时，矛盾.

②当时，，

令，得；，得.

（ⅰ）当，即时，

时，，即递减，∴矛盾.

（ⅱ）当，即时，

时，，即递增，∴满足题意.

综上，.

（3）证明：由（2）知令，当时，，

（当且仅当时取“”）

∴当时，.

即当，有

.