Question

2．已知函数$f（x）=3sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}}）$，x∈R．
（1）用五点作图法画出函数f（x）在$[{\frac{π}{2}，\frac{9π}{2}}]$上的简图；
（2）若$f（α）=\frac{3}{2}$，$α∈[{\frac{π}{2}，\frac{9π}{2}}]$，求α．

Answer 1

分析 （1）利用描点法画函数图象，第一步列表，令函数解析式中的角分别为0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π，求出x的值，且代入函数解析式求出对应的函数值y的值，找出函数图象上五点坐标，在平面直角坐标系中描出五个点，用平滑的曲线画出函数图象即可；
（2）由题意可求sin（$\frac{1}{2}$α-$\frac{π}{4}$）的值，进而结合范围可求α的值．

解答 解：（1）由“五点作图法”列表如下：

x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）	0	3	0	-3	0

图象如下：

$\begin{array}{l}（2）由f（α）=3sin（\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}）=\frac{3}{2}，得sin（\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}，\\ 所以\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}=\frac{π}{6}+2kπ或\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}=\frac{5π}{6}+2kπ，即α=\frac{5π}{6}+4kπ或α=\frac{13π}{6}+4kπ，k∈z.\\ 又因为α∈[\frac{π}{2}，\frac{9π}{2}]，所以k取0，得α=\frac{5π}{6}或α=\frac{13π}{6}．\end{array}$

点评 此题考查了利用五点法作三角函数的图象，考查了三角函数的图象和性质的应用，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键，属于中档题．