Question

已知函数f(x)=2cos(x-

π

3

)+2sin(

3π

2

-x)
（1）求函数f（x）的单调递减区间．
（2）求函数f（x）的最大值，并求f（x）取得最大值时的x的集合．
（3）若f(x)=

6

5

，求cos(2x-

π

3

)的值．

Answer 1

分析：由题意可得：f（x）=2sin（x-

π

6

）．（1）当2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即化简可得函数的单调减区间．（2）根据正弦函数的性质可得：当x-

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

2π

3

时，函数f（x）有最大值．（3）由题意可得：2sin（x-

π

6

）=

6

5

，所以sin（x-

π

6

）=

3

5

．再集合二倍角公式可得：cos（2x-

π

3

）=1-2sin²（x-

π

6

）=

7

25

．

解答：解：由题意可得：f(x)=2cos(x-

π

3

)+2sin(

3π

2

-x)，化简可得f（x）=2sin（x-

π

6

）．
（1）当2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即化简可得2kπ+

2π

3

≤x≤2kπ+

5π

3

，
所以函数f（x）的单调递减区间为[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]，(k∈Z)．
（2）当x-

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

2π

3

时，函数f（x）有最大值2，
并且此时x的集合为{x|x=2kπ+

2π

3

，k∈Z}．
（3）由题意可得：f(x)=

6

5

，即2sin（x-

π

6

）=

6

5

，所以sin（x-

π

6

）=

3

5

．
所以cos（2x-

π

3

）=1-2sin²（x-

π

6

）=

7

25

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握两角和与差的正弦余弦公式，以及三角函数的有关性质．