Question

“城中观海”是近年来国内很多大中型城市内涝所致的现象，究其原因，除天气因素、城市规划等原因外，城市垃圾杂物也是造成内涝的一个重要原因。暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道，据统计，在不考虑其它因素的条件下，某段下水道的排水量V(单位：立方米／小时)是杂物垃圾密度x（单位：千克／立方米）的函数。当下水道的垃圾杂物密度达到2千克／立方米时，会造成堵塞，此时排水量为0；当垃圾杂物密度不超过0.2千克／立方米时，排水量是90立方米／小时；研究表明，时，排水量V是垃圾杂物密度x的一次函数。
（Ⅰ）当时，求函数V(x)的表达式；
（Ⅱ）当垃圾杂物密度x为多大时，垃圾杂物量（单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量，单位：千克／小时）可以达到最大，求出这个最大值。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）当杂物垃圾密度千克／立方米,f(x)取得最大值50千克／小时．

试题分析：（Ⅰ）当下水道的垃圾杂物密度达到2千克／立方米时，会造成堵塞，此时排水量为0；当垃圾杂物密度不超过0.2千克／立方米时，排水量是90立方米／小时说明函数图像过，与，又因为当时，排水量V是垃圾杂物密度x的一次函数，可设，将与代入可求出，而在，，从而得的解析式；（Ⅱ）当垃圾杂物密度x为多大时，垃圾杂物量可以达到最大，由，这是一个分段函数，分段函数的最值分段求，然后比较谁最大为谁，当，是一个一次函数，当时最大，最大值为，当，这是一个二次函数，对称轴为，故时最大，最大值为，从而得当杂物垃圾密度千克／立方米,f(x)取得最大值50千克／小时．
试题解析：（Ⅰ）时，排水量V是垃圾杂物密度x的一次函数，设为，将与代入得，
（6分）
（Ⅱ）
千克／小时
，
所以，当杂物垃圾密度千克／立方米,f(x)取得最大值50千克／小时。（13分）
分）