Question

20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4，离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．若直线y=t（t＞0）与椭圆C交于不同的两点A，B，以线段AB为直径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与x轴相切，求圆M被直线x-$\sqrt{3}$y+1=0截得的线段长．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由题意求得圆心和半径，可得圆的方程，再由直线和圆相交的弦长公式，结合点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得2b=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a²-b²=c²，
解得a=2$\sqrt{3}$，b=2，
则椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．                                
（2）点M为线段AB的中点，且位于y轴正半轴，
又圆M与x轴相切，故M的坐标为（0，t），
不妨设点B位于第一象限，因为MA=MB=t，所以B（t，t）            
代入椭圆方程，可得$\frac{{t}^{2}}{12}$+$\frac{{t}^{2}}{4}$=1，因为t＞0，解得t=$\sqrt{3}$，
所以圆M的圆心为（0，$\sqrt{3}$），半径为$\sqrt{3}$，
其方程为x²+（y-$\sqrt{3}$）²=3，
因为圆心（0，$\sqrt{3}$）到直线x-$\sqrt{3}$y+1=0的距离
d=$\frac{|0-3+1|}{\sqrt{1+3}}$=1，
故圆M被直线x-$\sqrt{3}$y+1=0截得的线段长为2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{（\sqrt{3）^{2}-{1}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆的位置关系：相切和相交，以及弦长公式的运用，属于中档题．