Question

12．已知数列{a_n}满足log₃a_n+2=log₃a_n+1（n∈N^*）且a₂+a₄+a₆=9，则log${\;}_{\frac{1}{3}}$（a₅+a₇+a₉）的值是（　　）

• A． -8
• B． -$\frac{1}{8}$
• C． 8
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 先由“log₃a_n+2=log₃a_n+1”探讨数列，得到数列是以9为公比的等比数列，再由a₂+a₄+a₆=a₂（1+q²+q⁴），a₅+a₇+a₉=a₅（1+q²+q⁴）得到a₅+a₇+a₉=q³（a₂+a₄+a₆）求解．

解答 解：∵log₃a_n+2=log₃a_n+1，
∴a_n+1=9a_n，
∴数列{a_n}是以9为公比的等比数列，
∴a₂+a₄+a₆=a₂（1+q²+q⁴）=9，
∴a₅+a₇+a₉=a₅（1+q²+q⁴）=a₂q³（1+q²+q⁴）=9×9³=3⁸，
∴log${\;}_{\frac{1}{3}}$（a₅+a₇+a₉）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$3⁸=-8．
故选：A．

点评 本题主要考查等比数列的定义，通项及其性质，在等比数列中用“首项与公比”法是常用方法，往往考查到方程思想．