Question

7．若△ABC边BC，CA，AB上的高分别为h_a、h_b、h_c，且h_a：h_b：h_c=6：4：3，则tanC=-$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 由已知设a=2k，b=3k，c=4k，k＞0，利用余弦定理能求出cosC，由此能求出tanC．

解答 解：∵△ABC边BC，CA，AB上的高分别为h_a、h_b、h_c，且h_a：h_b：h_c=6：4：3，
$S△ABC=\frac{1}{2}a{h}_{a}=\frac{1}{2}b{h}_{b}=\frac{1}{2}c{h}_{c}$，
∴$a：b：c=\frac{1}{{h}_{a}}：\frac{1}{{h}_{b}}：\frac{1}{{h}_{c}}$=$\frac{1}{6}：\frac{1}{4}：\frac{1}{3}$=2：3：4，
设a=2k，b=3k，c=4k，k＞0，
则cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4{k}^{2}+9{k}^{2}-16{k}^{2}}{2×2k×3k}$=-$\frac{1}{4}$，
∴sinC=$\sqrt{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}}$=-$\sqrt{15}$．
故答案为：-$\sqrt{15}$．

点评 本题考查正切函数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．