Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-

7x

x2+x+1

．
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）试确定函数y=f（x）（x≥0）单调区间，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据函数偶函数的定义可知f（-x）=f（x），设x＜0则-x＞0，代入当x≥0时f（x）的解析式即可求出x＜0时，f（x）的解析式；
（2）设x₁，x₂是区间[0，+∞）上任意两个实数，且0≤x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，最后根据函数单调性的定义进行判定即可．

解答：解：（1）若x＜0则-x＞0，∵f（x）是偶函数，
∴f(x)=f(-x)=

-7(-x)

(-x)2+(-x)+1

=

7x

x2-x+1

（2）设x₁，x₂是区间[0，+∞）上任意两个实数，且0≤x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）f(x1)-f(x2)=

-7x1

x 2 1 +x1+1

-

-7x2

x 2 2 +x2+1

=

7(x1-x2)(x1x2-1)

( x 2 1 +x1+1)( x 2 2 +x2+1)

当0≤x₁＜x₂≤1时，x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0而x₁²+x₁+1＞0及x₂²+x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x）在[0，1]上为减函数．
同理当1＜x₁＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在（1，+∞）上为增函数

点评：本题主要考查了函数的奇偶性、单调性以及函数的解析式等有关知识，同时考查了计算能力，属于基础题．