Question

7．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3，x∈（-1，0]}\\{3-{x}^{2}，x∈（0，1]}\end{array}\right.$，且f（x）=f（x+2），g（x）=$\frac{3x-7}{x-2}$，则方程g（x）=f（x）-g（x）在区间[-3，7]上的所有零点之和为（　　）

• A． 12
• B． 11
• C． 10
• D． 9

Answer 1

分析 分析两函数的性质，在同一坐标系内画出两函数图象，利用数形结合的方法可求．

解答 解：∵f（x）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为2的周期函数，
函数g（x）=$\frac{3x-7}{x-2}=3-\frac{1}{x-2}$，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f（x）的图象也关于点（2，3）对称，
函数f（x）与g（x）在[-3，7]上的交点也关于（2，3）对称，
设A，B，C，D的横坐标分别为a，b，c，d，
则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3，
故两图象在[-3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11，
即函数y=f（x）-g（x）在[-3，7]上的所有零点之和为11．
故选：B．

点评 本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．