Question

15．已知函数f（x）是奇函数，且定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．若x＜0时，f（x）=-x-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性的定义，直接求解函数的解析式即可．
（2）利用分段函数列出不等式求解即可．

解答 解：（1）当x＞0时，-x＜0，f（-x）=x-1-----------（2分）
∵函数f（x）是定义域为的奇函数．
∴f（x）=-f（-x）=1-x------------（4分）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-1（x＜0）}\\{1-x（x＞0）}\end{array}\right.$------------（6分）
（2）∵f（x）＞0
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x-1＞0}\\{x＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$-------（9分）
解得：x＜-1或0＜x＜1------------（11分）
故不等式的解集为：（-∞，-1）∪（0，1）．----------（12分）

点评 本题考查函数的解析式的求法，函数的奇偶性以及分段函数的应用，考查计算能力．