Question

3．已知关于x的二次方程x²+2mx+2m+1=0．
（1）若方程有两个正根，求m的取值范围．
（2）若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，3）内，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得，$\left\{\begin{array}{l}{△={4m}^{2}-4（2m+1）＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=-2m＞0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=2m+1＞0}\end{array}\right.$，由此求得 m的取值范围．
（2）有条件利用二次函数的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=2＞0}\\{f（0）=2m+1＜0}\\{f（1）=4m+2＜0}\\{f（3）=8m+10＞0}\end{array}\right.$，由此求得m的范围．

解答 解：（1）∵关于x的二次方程x²+2mx+2m+1=0有两个正根，∴$\left\{\begin{array}{l}{△={4m}^{2}-4（2m+1）＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=-2m＞0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=2m+1＞0}\end{array}\right.$，
求得-$\frac{1}{2}$＜m＜1-$\sqrt{2}$，故 m的取值范围为（-$\frac{1}{2}$，1-$\sqrt{2}$）．
（2）∵关于x的二次方程x²+2mx+2m+1=0 其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，3）内，
  令f（x）=x²+2mx+2m+1，则由二次函数的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=2＞0}\\{f（0）=2m+1＜0}\\{f（1）=4m+2＜0}\\{f（3）=8m+10＞0}\end{array}\right.$，求得-$\frac{5}{4}$＜m＜-$\frac{1}{2}$，
即m的取值范围为（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．