Question

18．已知函数f（x）=$\frac{x}{ax+b}$（a，b是常数且a≠0），满足f（1）=$\frac{1}{2}$，且方程f（x）=x有唯一实数解，求函数f（x）的解析式和f[f（-3）]的值．

Answer 1

分析 由f（1）=$\frac{1}{2}$，得2a+b=2，由f（x）=x有一个解，得方程ax2+（b-1）x=0（x≠-$\frac{b}{a}$）有唯一解，由此能求出函数f（x）的解析式和f[f（-3）]的值．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{x}{ax+b}$（a，b是常数且a≠0），
满足f（1）=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{2}{2a+b}$=1，
化简得2a+b=2，
又∵f（x）=x有一个解，
∴$\frac{x}{ax+b}$=x有一个解，即方程ax2+（b-1）x=0（x≠-$\frac{b}{a}$）有唯一解
（b-1）²=0，解得：a=$\frac{1}{2}$，b=1，
当x=-$\frac{b}{a}$时，代入上面方程解得a=1，b=0
此时f（x）=x有唯一解，
∴所求为f（x）=$\frac{2x}{x+2}$或f（x）=1（x≠0）．
f（-3）=$\frac{2×（-3）}{-3+2}$=6，
f[f（-3）]=f（6）=$\frac{2×6}{6+2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查函数的解析式和函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．