Question

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+b=2$\sqrt{2}$，C=$\frac{π}{3}$，sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC，则△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意和正弦定理可得c值，由余弦定理可得ab的值，整体代入三角形的面积公式计算可得．

解答 解：∵在△ABC中，∵sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC，
∴由正弦定理可得a+b=$\sqrt{2}$c，
又∵a+b=2$\sqrt{2}$，C=$\frac{π}{3}$，
∴$\sqrt{2}$c=2$\sqrt{2}$，解得c=2，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
代值可得4=8-3ab，解得ab=$\frac{4}{3}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式和整体思想，属中档题．