Question

已知F₁，F₂分别是椭圆C的左右焦点，A是椭圆C短轴的一个顶点，B是直线AF₂与椭圆C的另一个交点，若∠F₁AF₂=60°，△AF₁B的面积为40

3

，则椭圆C的方程为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意，设出椭圆的方程，直线AB的方程，两方程联立，求出A、B点的坐标，由∴△AF₁B的面积S，求出c的值，从而得椭圆C的方程．

解答： 解：根据题意，设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
结合题意，画出图形，如图所示；
∵∠F₁AF₂=60°，
∴a：b：c=2：

3

：1；
∴椭圆的方程可化为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
∴直线AB的方程为y=-

3

（x-c），
∴

y=- 3 (x-c) x2 4c2 + y2 3c2 =1

，
解得

x1=0 y1= 3 c

，

x2= 8 5 c y2=- 3 3 5 c

；
∴△AF₁B的面积S=

1

2

|F₁F₂|•（|y₁|+|y₂|）=

1

2

×2c×（

3

c+

3 3

5

c）=40

3

，
解得c=5；
∴椭圆C的方程为

x2

100

+

y2

75

=1．
故答案为：

x2

100

+

y2

75

=1．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应根据题意，应用待定系数法，结合直线被圆锥曲线所截得的弦长，求出圆锥曲线的标准方程来，是中档题．