【题目】如图四棱锥中,
底面
,
是边长为2的等边三角形,且
,
,点
是棱
上的动点.
(I)求证:平面平面
;
(Ⅱ)当线段最小时,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(I)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)由底面
可得
.取
的中点
,连接
,根据等腰三角形的性质可得
,于是得到
平面
,根据面面垂直的判定可得所证结论.(Ⅱ)取
中点
,连接
,可证得
,建立空间直角坐标系.然后根据向量的共线得到点
的坐标,再根据线段
最短得到点
的位置,进而得到
.求出平面
的法向量后根据线面角与向量夹角间的关系可得所求.
(Ⅰ)证明:∵底面
,
底面
,
∴.
取的中点
,连接
,
∵是等边三角形,
,
∴,
,
∴点共线,从而得
,
又,
∴平面
,
∵平面
,
∴平面平面
.
(Ⅱ)解:取中点
,连接
,则
,
∴底面
,
∴两两垂直.
以为原点如图建立空间直角坐标系
,
则,
∴,
设平面的法向量为
,
由,得
,
令,得
.
设,则
,
∴,
∴当时,
有最小值,且
,此时
.
设直线与平面
所成角为
,
则,
∴直线与平面
所成角的正弦值为
.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程与曲线
直角坐标方程;
(2)设为曲线
上的动点,求点
到
上点的距离的最小值,并求此时点
的坐标.
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【题目】已知椭圆C:的离心率为
,且经过点M(1,
).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知直线l不过点P(0,1),与椭圆C交于A、B两点,记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2,且满足k1+k2=1,求证:直线l过定点,并求出该定点坐标.
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【题目】“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”,“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2030这2030个自然数中,能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列,则此数列共有( )
A.168项B.169项C.170项D.171项
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【题目】已知在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以
轴的非负半轴为极轴,原点
为极点建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,若直线
和
分别与曲线
相交于
、
两点(
,
两点异于坐标原点).
(1)求曲线的普通方程与
、
两点的极坐标;
(2)求直线的极坐标方程及
的面积.
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【题目】设椭圆的左焦点为
,离心率为
,
为圆
的圆心.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过椭圆右焦点的直线
交椭圆于
两点,过
且与
垂直的直线
与圆
交于
两点,求四边形
面积的取值范围.
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【题目】已知六棱锥的底面是正六边形,
平面ABC,
.则下列命题中正确的有( )
①平面平面PAE;
②;
③直线CD与PF所成角的余弦值为;
④直线PD与平面ABC所成的角为45°;
⑤平面PAE.
A.①④B.①③④C.②③⑤D.①②④⑤
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【题目】已知偶函数满足
,现给出下列命题:①函数
是以2为周期的周期函数;②函数
是以4为周期的周期函数;③函数
为奇函数;④函数
为偶函数,则其中真命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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