Question

12．如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中$OA=3km，OB=3\sqrt{3}km$，∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边A，B上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为了安全起见，需在△OAN的一周安装防护网．
（1）当$AM=\frac{3}{2}km$时，求防护网的总长度；
（2）若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的$\sqrt{3}$倍，试确定∠AOM的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知求出∠OAB=60°，OM=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，从而OM⊥AN，进而△OAN为正三角形，由此能求出防护网的总长度．
（2）设∠AOM=θ，（0°＜θ＜60°），由已知得ON=6$\sqrt{3}$sinθ，ON=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，从而6$\sqrt{3}$sin$θ=\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，由此能确定∠AOM的大小．

解答 解：（1）在△OAB中，∵OA=3，OB=3$\sqrt{3}$，∠AOB=90°，∴∠OAB=60°，
在$△AOM中，OA=3，AM=\frac{3}{2}$，∠OAM=60°，
∴由余弦定理，得OM=$\sqrt{9+\frac{9}{4}-2×3×\frac{3}{2}×cos60°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴OM²+AM²=OA²，∴OM⊥AN，∴∠AOM=30°，
∴△OAN为正三角形，∴△OAN的周长为9，
∴防护网的总长度为9km．
（2）设∠AOM=θ，（0°＜θ＜60°），
∵${S}_{△OMN}=\sqrt{3}{S}_{△OAM}$，
∴$\frac{1}{2}ON•OMsin30°=\sqrt{3}×\frac{1}{2}×OA×OM×sinθ$，∴ON=6$\sqrt{3}$sinθ，
在△OAN中，由$\frac{ON}{sin60°}=\frac{OA}{sin（θ+60°+30°）}$=$\frac{3}{sinθ}$，得ON=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，
从而6$\sqrt{3}$sin$θ=\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，∴sin2$θ=\frac{1}{2}$，
∵0°＜2θ＜120°，∴2θ=30°，∴θ=15°，
∴∠AOM=15°．

点评 本题考查函数在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、勾股定理的合理运用．