Question

2．已知f（x）=$\frac{x+1}{3x-1}$．
（1）求f（f（x））；
（2）对参数a的哪些值，方程|x|+|$\frac{x+1}{3x-1}$|=a正好有3个实数解；
（3）设b为任意实数，证明：x+$\frac{2x-7}{x+1}$-$\frac{x+7}{x-2}$=b共有3个不同的实数解x₁，x₂，x₃，并且x₁+x₂+x₃=b．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（f（x））=f（$\frac{x+1}{3x-1}$）=x，
（2）作函数y=|$\frac{x+1}{3x-1}$|与函数y=a-|x|的图象，从而化为x+$\frac{x+1}{3x-1}$=a有一个解，从而利用判别式解得．
（3）化简方程可得x³-bx²+（b-21）x+2b-7=0，从而令g（x）=x³-bx²+（b-21）x+2b-7，从而利用零点的判定定理判断即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x+1}{3x-1}$，
∴f（f（x））=f（$\frac{x+1}{3x-1}$）=x，
（2）作函数y=|$\frac{x+1}{3x-1}$|与函数y=a-|x|的图象如下，
若使方程|x|+|$\frac{x+1}{3x-1}$|=a正好有3个实数解，
则x+$\frac{x+1}{3x-1}$=a有一个解，
即3x²-3ax+a+1=0有一个解，
故△=9a²-12a-12=0，
解得，a=2或a=-$\frac{2}{3}$（舍去）；
故a=2；
（3）证明：∵x+$\frac{2x-7}{x+1}$-$\frac{x+7}{x-2}$=b，
∴$\frac{x（x+1）（x-2）+（2x-7）（x-2）-（x+7）（x+1）}{（x+1）（x-2）}$=b，
∴x³-bx²+（b-21）x+2b-7=0，
令g（x）=x³-bx²+（b-21）x+2b-7，
易知$\underset{lim}{x→-∞}$g（x）=-∞，$\underset{lim}{x→+∞}$g（x）=+∞，
g（-1）=-1-b-b+21+2b-7=13＞0，
g（2）=8-4b+2b-42+2b-7=-41＜0，
故g（x）在（-∞，-1），（-1，2），（2，+∞）上各有一个零点，
故g（x）有3个不同的零点x₁，x₂，x₃，
故x+$\frac{2x-7}{x+1}$-$\frac{x+7}{x-2}$=b共有3个不同的实数解x₁，x₂，x₃，
∵x³-bx²+（b-21）x+2b-7=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）
=x³-（x₁+x₂+x₃）x²+（x₁x₂+x₁x₃+x₃x₂）x-x₁x₂x₃，
故x₁+x₂+x₃=b．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用．