Question

10．设函数$f（x）={log_2}（4x-{x^2}-3）$．
（1）求函数f（x）的定义域； 
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）的最大值，并求出取得最大值时的x的值．

Answer 1

分析 （1）解4x-x²-3＞0可解函数f（x）的定义域；
（2）由二次函数和复合函数单调性可得；
（3）由（2）可知，当x=2时，函数取最大值，代值计算可得．

解答 解：（1）由4x-x²-3＞0可解得1＜x＜3，
∴函数f（x）的定义域为（1，3）；
（2）二次函数t=4x-x²-3在（1，2）单调递增，在（2，3）单调递减，
由复合函数单调性可得函数f（x）的增区间为（1，2），减区间为（2，3）；
（3）由（2）可知，当x=2时，函数取最大值，
∴函数的最大值为f（x）_max=f（2）=0，此时x=2．

点评 本题考查对数函数的图象和性质，涉及复合函数的单调性，属基础题．