Question

15．在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（4，-1），P（2，0），求：
（1）$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$的值；
（2）∠APB的大小．

Answer 1

分析 （1）运用向量的坐标运算可得$\overrightarrow{AP}$=（0，-3），$\overrightarrow{BP}$=（-2，1），再由数量积的坐标表示即可得到所求；
（2）求得向量PA，PB的坐标和模，再由向量的夹角公式即可得到所求值．

解答 解：（1）A（2，3），B（4，-1），P（2，0），
可得$\overrightarrow{AP}$=（0，-3），$\overrightarrow{BP}$=（-2，1），
即有$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=0×（-2）+（-3）×1=-3；
（2）$\overrightarrow{PA}$=（0，3），$\overrightarrow{PB}$=（2，-1），
|$\overrightarrow{PA}$|=3，|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{5}$，
可得cos∠APB=$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{-3}{3×\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
则∠APB=$π-arccos\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和模的公式，考查向量的夹角的求法，考查运算能力，属于基础题．