Question

已知实数x，y满足y=

9-x2

，求z=2x+y的取值范围为

[-6，3

5

]

．

Answer 1

分析：三角换元：x=3cosα，则y=

9-x2

=3sinα，α∈[0，π]．利用辅助角公式算出z=2x+y=3

5

sin（α+θ），结合α+θ的范围利用三角函数的图象，即可算出z=2x+y的取值范围．

解答：解：设x=3cosα，则y=

9-x2

=3sinα，α∈[0，π]
可得z=2x+y=6cosα+3sinα=3

5

sin（α+θ），
其中θ=arctan2，
∵α∈[0，π]，得α+θ∈[arctan2，π+arctan2]
∴当α+θ=

π

2

时，z有最大值3

5

；当α=π时，z有最小值-6
由此可得z=2x+y的取值范围为[-6，3

5

]
故答案为：[-6，3

5

]

点评：本题给出曲线方程y=f（x），求z=2x+y的取值范围．着重考查了三角换元法求函数的值域的知识，属于中档题．