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已知aR,函数f(x)4x32axa.

(1)f(x)的单调区间;

(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)|2a|0.

 

(1) 函数f(x)的单调递增区间为

单调递减区间为.

(2)见解析

【解析】(1)由题意得f′(x)12x22a.

a≤0时,f′(x)≥0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为(,+∞)

a0时,f′(x)12

此时函数f(x)的单调递增区间为

单调递减区间为.

(2)证明:由于0≤x≤1,故当a≤2时,f(x)|a2|4x32ax2≥4x34x2.

a2时,f(x)|a2|4x32a(1x)2≥4x34(1x)24x34x2.

g(x)2x32x1,0≤x≤1,则

g′(x)6x226.

于是

x

0

1

g′(x)

 

0

 

g(x)

1

极小值

1

所以g(x)ming10.

所以当0≤x≤1时,2x32x10.

f(x)|a2|≥4x34x20.

 

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