Question

19．已知在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{2{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 由a_n=$\frac{2{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$（n≥2），取倒数，可得{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，即可求解a_n．

解答 解：∵a₁=1，a_n=$\frac{2{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$（n≥2），∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
∵a₁=1，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$1+（n-1）×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$（n=1也满足），
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，求解数列的通项公式，考查学生的计算能力，由a_n=$\frac{2{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$（n≥2），取倒数，可得新等差数列是关键．