Question

7．求下列函数的值域：
（1）f（x）=x²-2x+9（-3≤x≤2）；
（2）f（x）=$\frac{3x+2}{x-2}$（x∈[1，2）∪（2，4]）；
（3）f（x）=$\sqrt{5+4x-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）配方，f（x）=（x-1）²+8，从而看出f（-3）＞f（2），这样即可得出该函数的值域；
（2）分离常数，f（x）=$3+\frac{8}{x-2}$，从而看出该函数在[1，2），（2，4]上单调递减，这样根据单调性的定义即可得出该函数的值域；
（3）配方，5+4x-x²=-（x-2）²+9，从而得到0≤5+4x-x²≤9，这样便可得出函数f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=（x-1）²+8；
∴f（-3）＞f（2），f（-3）=24；
∴该函数的值域为[8，24]；
（2）f（x）=$\frac{3（x-2）+8}{x-2}=3+\frac{8}{x-2}$；
∴f（x）在[1，2），（2，4]上单调递减；
∴f（x）≤f（1）=-5，或f（x）≥f（4）=7；
∴该函数的值域为（-∞，-5]∪[7，+∞）；
（3）0≤5+4x-x²=-（x-2）²+9≤9；
∴$0≤\sqrt{5+4x-{x}^{2}}≤3$；
∴原函数的值域为[0，3]．

点评 考查函数值域的概念，配方求二次函数的值域，根据取得顶点值的情况及比较端点值的方法求二次函数在闭区间上的最值，分离常数法的运用，根据不等式的性质求函数值域．