Question

10．已知函数f（x）=2^|x+1|-|x-1|（x∈[-2，2]）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若f（x）≥2$\sqrt{2}$，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对x分段后写出分段函数的解析式，则函数值域可求；
（2）分段求解不等式f（x）≥2$\sqrt{2}$，取并集得答案．

解答 解：（1）f（x）=2^|x+1|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}，-2≤x≤-1}\\{{4}^{x}，-1＜x＜1}\\{4，1≤x≤2}\end{array}\right.$，
∴函数f（x）的值域为[$\frac{1}{4}，4$]；
（2）当x∈（-1，1）时，由f（x）=${4}^{x}≥2\sqrt{2}$，解得：$\frac{3}{4}≤x＜1$；
当x∈[1，2]时，f（x）=4≥2$\sqrt{2}$恒成立．
∴满足f（x）≥2$\sqrt{2}$的x的取值范围是[$\frac{3}{4}，2$]．

点评 本题考查函数的值域的求法，考查了指数不等式的解法，正确分段是解答该题的关键，是基础题．