Question

不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一个元素，则b+

1

a2

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一个元素，画图分析a、b所满足的条件，把b代入b+

1

a2

后借助于基本不等式求最值．

解答： 解：由-2≤x²+ax+b≤1，得：

x2+ax+b+2≥0 x2+ax+b-1≤0

，作图如下：

不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一个元素，
∴

a2-4(b+2)≤0 a2-4(b-1)=0

，解得b=1+

a2

4

，
∴b+

1

a2

=1+

a2

4

+

1

a2

≥1+2

a2 4 × 1 a2

=2（当且仅当a²=2，b=

3

2

时取“=”），
故答案为：2．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了二次函数的性质，解决的关键是由不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一个元素得到a和b的关系，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．