Question

已知等腰梯形PDCB中(如图),PB=3,DC=1,PD=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD(如图).
(1)证明：平面PAD⊥平面PCD.
(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分V_PDCMA∶V_MACB=2∶1.
(3)在M满足(2)的情况下,判断直线PD是否平行平面AMC.

Answer 1

（1）见解析   （2）M为线段PB的中点时   （3）不平行

(1)因为PDCB为等腰梯形,PB=3,DC=1,PA=1,则PA⊥AD,CD⊥AD.
又因为面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,CD?面ABCD,故CD⊥面PAD.
又因为CD?面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.
(2)所求的点M即为线段PB的中点.
证明如下：
设三棱锥M-ACB的高为h₁,四棱锥P-ABCD的高为h₂,
当M为线段PB的中点时,==,
所以===,所以截面AMC把几何体分成的两部分V_PDCMA∶V_MACB=2∶1.
(3)当M为线段PB的中点时,直线PD与面AMC不平行.
证明如下：(反证法)假设PD∥面AMC,
连接DB交AC于点O,连接MO.
因为PD?面PBD,且面AMC∩面PBD=MO,
所以PD∥MO.
因为M为线段PB的中点时,则O为线段BD的中点,即=,
而AB∥DC,故==,故矛盾.
所以假设不成立,故当M为线段PB的中点时,直线PD与平面AMC不平行.