Question

已知等比数列{a_n}，首项a₁是的展开式中的常数项，公比，且t≠1．
（1）求a₁及m的值；
（2）化简C_n¹•S₁+C_n²•S₂+…+C_nⁿ•S_n，其中S_n=a₁+a₂+…+a_n；
（3）若b_n=C_n•a₁+C_n¹•a₂+C_n²•a₃+…+C_nⁿ•a_n+1，时，证明b_n＜3，对任意n∈N*成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）在展开式的通项公式 T_r+1= 中，令，得r=1，可得a₁ 的值．由可得整数m的值．
（2）由（1）可得a_n=t^n-1，进而得到，要求的式子即，提取公因式裂项求和，可得结果．
（3）先利用＜ 证明b_n＜，再利用，进而证得b_n＜，
从而得到b_n＜3．
解答：解：（1）展开式的通项公式 =，
令，∴r=1，∴．
由 可得 ，∴m=4．（3分）
（2）由（1）知=t，a_n=t^n-1．
∴，
 故  C_n¹•S₁+C_n²•S₂+…+C_nⁿ•S_n =
= 
=
=． （6分）
（3）当n≥2时，===＜3．
当n=1时，b_n=2＜3成立，
∴对任意n∈N*，b_n＜3成立． （4分）
点评：本题主要考查二项式定理的应用，组合数的性质，二项式的系数和，用放缩法证明不等式，用放缩法证明不等式，是解题的难点．