Question

已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的每条棱长均为a,M为棱A₁C₁上的动点.

(1)当M在何处时,BC₁∥平面MB₁A,并证明之;

(2)若BC₁∥平面MB₁A,求平面MB₁A与平面ABC所成的锐二面角的大小(结果用反三角函数值表示);

(3)求三棱锥B—AB₁M体积的最大值.

Answer 1

解:(1)当M是A₁C₁中点时,BC₁∥平面MB₁A.

∵M为A₁C₁中点,延长AM、CC₁,设AM与CC₁延长线交于点N,则NC₁=C₁C=a.

连结NB₁并延长与CB延长线交于点G,

则BG=CB,NB₁=B₁G.

在△CGN中,BC₁为中位线,∴BC₁∥GN.

又GN平面MAB₁,BC₁?平面MAB₁,

∴BC₁∥平面MAB₁.

(2)∵BC₁∥平面MB₁A,

∴M为A₁C₁中点.

在△AGC中,BC=BA=BG,

∴∠GAC=90°,即AC⊥AG.

又AG⊥AA₁,AA₁∩AC=A,

∴AG⊥平面A₁ACC₁.

∴AG⊥AM.

∴∠MAC为平面MB₁A与平面ABC所成二面角的平面角.

∴tan∠MAC==2.

∴所求锐二面角大小为arctan2.

(3)设动点M到平面A₁ABB₁的距离为h_m,

则===×a²h_m≤a³.

当点M与点C₁重合时,三棱锥B—AB₁M的体积最大,最大值为a³.