精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知正三棱柱ABC—A1B1C1的每条棱长均为a,M为棱A1C1上的动点.

(1)当M在何处时,BC1∥平面MB1A,并证明之;

(2)若BC1∥平面MB1A,求平面MB1A与平面ABC所成的锐二面角的大小(结果用反三角函数值表示);

(3)求三棱锥B—AB1M体积的最大值.

解:(1)当M是A1C1中点时,BC1∥平面MB1A.

∵M为A1C1中点,延长AM、CC1,设AM与CC1延长线交于点N,则NC1=C1C=a.

连结NB1并延长与CB延长线交于点G,

则BG=CB,NB1=B1G.

在△CGN中,BC1为中位线,∴BC1∥GN.

又GN平面MAB1,BC1?平面MAB1,

∴BC1∥平面MAB1.

(2)∵BC1∥平面MB1A,

∴M为A1C1中点.

在△AGC中,BC=BA=BG,

∴∠GAC=90°,即AC⊥AG.

又AG⊥AA1,AA1∩AC=A,

∴AG⊥平面A1ACC1.

∴AG⊥AM.

∴∠MAC为平面MB1A与平面ABC所成二面角的平面角.

∴tan∠MAC==2.

∴所求锐二面角大小为arctan2.

(3)设动点M到平面A1ABB1的距离为hm,

===×a2hma3.

当点M与点C1重合时,三棱锥B—AB1M的体积最大,最大值为a3.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,高为h(h>2),动点M在侧棱BB1上移动.设AM与侧面BB1C1C所成的角为θ.
(1)当θ∈[
π
6
π
4
]
时,求点M到平面ABC的距离的取值范围;
(2)当θ=
π
6
时,求向量
AM
BC
夹角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每条棱长均为a,M为棱A1C1上的动点.
(1)当M在何处时,BC1∥平面MB1A,并证明之;
(2)在(1)下,求平面MB1A与平面ABC所成的二面角的大小;
(3)求B-AB1M体积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知正三棱柱ABC-A1B1C1,底面边长为8,对角线B1C=10,
(1)若D为AC的中点,求证:AB1∥平面C1BD;
(2)若CD=2AD,BP=λPB1,当λ为何值时,AP∥平面C1BD;
(3)在(1)的条件下,求直线AB1到平面C1BD的距离.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=1.
(1)求证:平面AB1D⊥平面B1BCC1
(2)求证:A1C∥平面AB1D;
(3)求二面角B-AB1-D的正切值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•湖北模拟)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都为a,P为棱A1B上的动点.
(Ⅰ)试确定A1P:PB的值,使得PC⊥AB;
(Ⅱ)若A1P:PB=2:3,求二面角P-AC-B的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点C1到面PAC的距离.

查看答案和解析>>

同步练习册答案