Question

12．在△ABC中，若$\frac{sin（A-B）}{sinC}$=$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}$，则△ABC的形状是（　　）

• A． 锐角三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰三角形
• D． 等腰或直角三角形

Answer 1

分析 先利用三角函数的和角公式化左边=2R（sinAcosB-cosAsinB），再利用余弦化成三角形边的关系化简已知等式“（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sinC”，得到a²=b²或a²+b²=c²，从而得出该三角形是等腰三角形或直角三角形．

解答 解：∵$\frac{sin（A-B）}{sinC}$=$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}$，
∴可得：（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin C，
∵2Rsin（A-B）=2R（sinAcosB-cosAsinB）=2RsinAcosB-2RsinBcosA=a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$-b•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{c}$，
∴已知等式变形得：（a²+b²）•$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{2Rc}$=（a²-b²）•$\frac{c}{2R}$，
∴a²=b²或a²+b²=c²，
则△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故选：D．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了转化思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．