Question

10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2S_n=3ⁿ⁺¹+2n-3．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n=3ⁿ⁺¹+2n-3，可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+1，再检验当n=1时，a₁是否适合上式，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）依题意，na_n=n•3ⁿ+n，T_n=1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ+（1+2+3+…+n），令A_n=1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ，利用错位相减法可求得A_n=$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$，而1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，从而可得数列{na_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵2S_n=3ⁿ⁺¹+2n-3，
∴当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=（3ⁿ⁺¹+2n-3）-[3ⁿ+2（n-1）-3]=2•3ⁿ+2，
∴a_n=3ⁿ+1，
又a₁=S₁=$\frac{1}{2}$（3²+2×1-3）=4，适合上式，
∴a_n=3ⁿ+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=3ⁿ+1，则na_n=n•3ⁿ+n，
∵数列{na_n}的前n项和T_n，
则T_n=1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ+（1+2+3+…+n），
令A_n=1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ，①
则3A_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，②
①-②得：-2A_n=3¹+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1{-3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹=（$\frac{1}{2}-n$）•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴A_n=$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$．
∴T_n=$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的求和，考查数列递推关系式、分类法求和的运用，突出考查分组求和与错位相减法求和的综合应用，考查构造函数思想与运算求解能力，属于中档题．