Question

20．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（a²+b²-c²）tanC=$\sqrt{3}$ab．
（1）求角C的大小；
（2）求$\sqrt{3}$sinBcosB+cos²B的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用余弦定理即可求出sinC以及C的值；
（2）利用三角恒等变换化简代数式，利用B的取值范围再计算即可．

解答 解：（1）由（a²+b²-c²）tanC=$\sqrt{3}$ab得，
$\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}tanC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（1分）
即$cosC•tanC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；…（2分）
∴$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（3分）
又锐角△ABC，
∴C=$\frac{π}{3}$；…（4分）
（2）$\sqrt{3}sinBcosB+{cos^2}B$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2B+\frac{1+cos2B}{2}$
=$sin（2B+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，…（7分）
又△ABC为锐角三角形，且$C=\frac{π}{3}$，
∴B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
∴2B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$），…（10分）
∴sin（2B+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1），
∴$sin（2B+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}∈（0，\frac{3}{2}）$．…（12分）

点评 本题考查了余弦定理以及三角恒等变换的应用问题，是基础题目．