Question

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．
（1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）-x=0只有一个实根；
（2）判断函数g（x）=是否是集合M中的元素，并说明理由；
（3）设函数f（x）为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意α，β，证明|f（α）-f（β）|≤|α-β|

Answer 1

证明：：（1）令h（x）=f（x）-x，则h′（x）=f′（x）-1＜0，故h（x）是单调递减函数，
所以，方程h（x）=0，即f（x）-x=0至多有一解，
又由题设①知方程f（x）-x=0有实数根，
所以，方程f（x）-x=0有且只有一个实数根
（2）易知，g′（x）=-，则0＜g′（x）＜1，满足条件②；
令F（x）=g（x）-x=，
则F（e）==＞0，F（e²）=＜0，
又F（x）在区间[e，e²]上连续，所以F（x）在[e，e²]上存在零点x₀，
即方程g（x）-x有实数根x₀∈[e，e²]，故g（x）满足条件①，
综上可知，g（x）∈M
（Ⅲ）不妨设α≤β，∵f′（x）＞0，∴f（x）单调递增，
∴f（α）≤f（β），即f（β）-f（α）≥0，
令h（x）=f（x）-x，则h′（x）=f′（x）-1＜0，故h（x）是单调递减函数，
∴f（β）-β≤f（α）-α，即f（β）-f（α）≤β-α，
∴0≤f（β）-f（α）≤β-α，
则有|f（α）-f（β）|≤|α-β|．
分析：（1）构造函数h（x）=f（x）-x，由已知可判断h（x）是单调递减函数，由单调函数至多有一个零点，及方程f（x）-x=0有实根，可证得答案；
（2）结合函数g（x）=，分析条件：①方程g（x）-x=0有实根；②函数g（x）的导数g′（x）满足0＜g′（x）＜1．两个条件是否满足，可得结论；
（3）不妨设α≤β，由（1）证得函数的单调性，易证明0≤f（β）-f（α）≤β-α，进而根据绝对值的定义得到结论．
点评：本题是函数与方程的综合应用，是函数零点与方程根关系的综合应用，其中利用导数法分析函数的单调性，进而判断函数零点的个数及对应方程根的个数难度较大．