Question

（本题满分12分）
设函数，
(1) 如果且对任意实数均有,求的解析式；
(2) 在(1)在条件下, 若在区间是单调函数,求实数的取值范围；
(3) 已知且为偶函数，如果，求证：．

Answer 1

（1）；（2）的取值范围是；
（3） ．

试题分析： (1) 根据二次函数的函数值f(1)=0和函数值恒大于等于零得到及解析式。
(2) 在(1)在条件下,要是函数单调递增，则根据对称轴与定义域的关系分类讨论得到。
(3) 结合奇偶性的性质，以及函数单调性得到不等式的证明。
解（1）∵，∴（1分）
对任意实数均有恒成立，
即对任意实数均有恒成立（2分）
当时，，这时,，它不满足恒成立（3分）
当时，则且
,（4分）
从而,∴（5分）
（2）由（1）知
∴=（6分）
在区间是单调函数
或，即或
的取值范围是（7分）
（3） ∵是偶函数，∴（8分）
故,   （9分）
∵,∴当时
中至少有一个正数，即都是正数或一个正数，一个负数
若都是正数，则，所以（10分）
若一个正数，一个负数，不妨设，又
则=（11分）
综上可得，．（12分）
点评：解决该试题的关键是能通过解析式的特点以及二次函数的性质，来得到判别式小于等于零，从而得到解析式。