Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=10n-n²（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求S_n的最大值；
（III）设b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知可知，a₁=s₁，当n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1可求a_n，然后检验a₁=S₁是否适合上式，从而可求通项
（II）解法1：由等差数列的求和公式求出s_n，结合二次函数的性质可求s_n取得最大值
解法2：先求出满足a_n＞0的n的范围，结合数列项的正负可判断s_n取得最大值
（III） 令a_n=11-2n≥0，解出n的范围，然后可得T_n=b₁+b₂+…+b_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，结合数列项的正负去掉绝对值符合，然后结合等差数列的求和公式即可求解

解答：解：（I）当n=1时，a₁=s₁=9；-------------（1分）
当n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1=10n-n²-[10（n-1）-（n-1）²]=11-2n，-----（3分）
n=1 时，a₁=S₁=9 也适合上式
∴a_n=11-2n（n∈N^*）．-------------（4分）
（II）解法1：sn=10n-n2=-（n-5）²+25，-------------（6分）
所以，当n=5时，s_n取得最大值25．-------------（7分）
解法2：令a_n=11-2n≥0，得n≤

11

2

，
即此等差数列前5项为正数，从第6项起开始为负数，
所以，s₅最大，-------------（6分）
故（S_n）_max=s₅=25．-------------（7分）
（III） 令a_n=11-2n≥0，得n≤

11

2

．-------------（8分）
T_n=b₁+b₂+…+b_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
当n≤5时，a_n＞0，b_n=a_n，T_n=a₁+a₂+…+a_n=S_n=10n-n²，-------------（9分）
当n＞5 时，a_n＜0，b_n=-a_n，T_n=（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）-（a₆+a₇+…a_n）=2S₅-S_n=n²-10n+50-------------（11分）
综上可知，数列{b_n}的前n项和Tn=

10n-n2，n≤5 50-10n+n2，n＞5

．-------（12分）

点评：本题考查等差数列的前n项和的计算，公式法和分组求和法．b_n=|a_n|含有绝对值符号，所以还要进行分类讨论．