已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=pan-2n，n∈N*，其中常数p＞2．
（1）证明：数列{an+1}为等比数列；
（2）若a2=3，求数列{an}的通项公式；
（3）对于（2）中数列{an}，若数列{bn}满足bn=log2（an+1）（n∈N*），在bk与bk+1之间插入2k-1（k∈N*）个2，得到一个新的数列{cn}，试问：是否存在正整数m，使得数列{cn}的前m项的和Tm=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
分析：（1）把S
n和S
n+1相减整理求得2a
n+1=pa
n+1-pa
n-2，整理出1+a
n+1=
（1+a
n），判断出数列{1+a
n}是首项为
+1，公比为
的等比数列，证得数列{a
n+1}为等比数列．
（2）先根据a
2=3求出p的值，然后利用等比数列求出数列{a
n}的通项公式；
（3）先求出b
n，然后求出数列C
n中，b
k（含b
k项）前的所有项的和，当k=10时，其和是55+2
10-2=1077＜2011，当k=11时，其和是66+2
11-2=2112＞2011，又因为2011-1077=934=467×2，是2的倍数，所以当m=10+（1+2+2
2++2
8）+467=988时，T
m=2011，所以存在m=988使得T
m=2011．
解答：解：（1）∵2S
n=pa
n-2n，∴2S
n+1=pa
n+1-2（n+1），∴2a
n+1=pa
n+1-pa
n-2，
∴
an+1=an+，∴
an+1+1=(an+1)，
∵2a
1=pa
1-2，∴
a1=＞0，∴a
1+1＞0
∴
=≠0，∴数列{a
n+1}为等比数列．
（2）由（1）知
an+1=()n，∴
an=()n-1（8分）
又∵a
2=3，∴
×-1=3，∴p=4，∴a
n=2
n-1（10分）
（3）由（2）得b
n=log
22
n，即b
n=n，（n∈N
*），
数列C
n中，b
k（含b
k项）前的所有项的和是：
(1+2+3+…+k)+(20+21+22+…+2k-2)×2=+2k-2当k=10时，其和是55+2
10-2=1077＜2011
当k=11时，其和是66+2
11-2=2112＞2011
又因为2011-1077=934=467×2，是2的倍数，
所以当m=10+（1+2+2
2++2
8）+467=988时，T
m=2011，
所以存在m=988使得T
m=2011．
点评：本题主要考查了数列与函数的综合应用，同时考查了等比数列的通项公式化简求值，以及存在性问题，是一道比较难的题．
