(本题满分12分)
双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列,且与同向.
(Ⅰ)求双曲线的离心率;
(Ⅱ)设被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
(Ⅰ)e==;(Ⅱ)。
解析试题分析:(Ⅰ)设,,
由勾股定理可得:
得:,,
由倍角公式,解得,则离心率.
(Ⅱ)过直线方程为,与双曲线方程联立
将,代入,
化简有
将数值代入,有,解得
故所求的双曲线方程为.
解法二:解:(Ⅰ)设双曲线方程为(a>0,b>0),右焦点为F(c,0)(c>0),则c2=a2+b2
不妨设l1:bx-ay=0,l2:bx+ay=0
则 ,
因为2+2=2,且=2-,
所以2+2=(2-)2,
于是得tan∠AOB=。
又与同向,故∠AOF=∠AOB,
所以
解得 tan∠AOF=,或tan∠AOF=-2(舍去)。
因此
所以双曲线的离心率e==
(Ⅱ)由a=2b知,双曲线的方程可化为
x2-4y2=4b2 ①
由l1的斜率为,c=b知,直线AB的方程为
y=-2(x-b) ②
将②代入①并化简,得
15x2-32bx+84b2=0
设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
x1+x2=,x1·x2= ③
AB被双曲线所截得的线段长
l= ④
将③代入④,并化简得l=,而由已知l=4,故b=3,a=6
所以双曲线的方程为
考点:本题主要考查双曲线的几何性质,直线与双曲线的位置关系,两角和的正切公式。
点评:中档题,涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题,往往要利用韦达定理。弦长问题,往往利用弦长公式,通过整体代换,简化解题过程。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的方程为,点P的坐标为(-a,b).
(1)若直角坐标平面上的点M、A(0,-b),B(a,0)满足,求点的坐标;
(2)设直线交椭圆于、两点,交直线于点.若,证明:为的中点;
(3)对于椭圆上的点Q(a cosθ,b sinθ)(0<θ<π),如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤,并求出使、存在的θ的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分,(Ⅰ)小问3分,(Ⅱ)小问9分.)
直线称为椭圆的“特征直线”,若椭圆的离心率.(1)求椭圆的“特征直线”方程;
(2)过椭圆C上一点作圆的切线,切点为P、Q,直线PQ与椭圆的“特征直线”相交于点E、F,O为坐标原点,若取值范围恰为,求椭圆C的方程.
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(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,已知三点,,,曲线C上任意—点满足:.
(l)求曲线C的方程;
(2)设点P是曲线C上的任意一点,过原点的直线L与曲线相交于M,N两点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为,.试探究的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论;
(3)设曲线C与y轴交于D、E两点,点M (0,m)在线段DE上,点P在曲线C上运动.若当点P的坐标为(0,2)时,取得最小值,求实数m的取值范围.
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(本小题满分13分)
已知点为抛物线: 的焦点,为抛物线上的点,且.
(Ⅰ)求抛物线的方程和点的坐标;
(Ⅱ)过点引出斜率分别为的两直线,与抛物线的另一交点为,与抛物线的另一交点为,记直线的斜率为.
(ⅰ)若,试求的值;
(ⅱ)证明:为定值.
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(本小题满分13分)
已知点,,△的周长为6.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设过点的直线与曲线相交于不同的两点,.若点在轴上,且,求点的纵坐标的取值范围.
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(本小题满分13分)
已知椭圆C的对称轴为坐标轴,且短轴长为4,离心率为。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的焦点在y轴上,斜率为1的直线l与C相交于A,B两点,且
,求直线l的方程。
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(本小题满分12分)已知点F是抛物线C:的焦点,S是抛物线C在第一象限内的点,且|SF|=.
(Ⅰ)求点S的坐标;
(Ⅱ)以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B,延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点;
①判断直线MN的斜率是否为定值,并说明理由;
②延长NM交轴于点E,若|EM|=|NE|,求cos∠MSN的值.
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