Question

已知函数f（x）=ax+

1-x

ax

（a＞0）．
（1）用单调性的定义判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明；
（2）设f（x）在0＜x≤1的最小值为g（a），求y=g（a）的解析式．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）在（0，

1

a

）上是单调递减的，在（

1

a

，+∞）上单调递增的．运用单调性的定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤；
（2）讨论当0＜

1

a

≤1即a≥1时，当

1

a

＞1即0＜a＜1时，运用函数的单调性即可得到最小值．

解答： 解：（1）f（x）=ax+

1

ax

-

1

a

f（x）在（0，

1

a

）上是单调递减的，在（

1

a

，+∞）上单调递增的；
理由如下：设x₁，x₂是（0，

1

a

）上的任意两个值，且x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁＞0，
△y=f（x₂）-f（x₁）=ax₂+

1

ax2

-ax₁-

1

ax1

=a（x₂-x₁）+

1

ax2

-

1

ax1

=a（x₂-x₁）+

x1-x2

ax1x2

=（x₂-x₁）（a-

1

ax1x2

）
=（x₂-x₁）•

a2x1x2-1

ax1x2

∵0＜x₁＜

1

a

，0＜x₂＜

1

a

∴0＜x₁x₂＜

1

a2

∴0＜ax₁x₂＜1，
ax₁x₂-1＜0   又△x=x₂-x₁＞0，ax₁x₂＞0，
∴△y=f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x）在（0，

1

a

）上是单调递减，同理可证f（x）在（

1

a

，+∞）上单调递增； 
（2）当

1

a

＞1即0＜a＜1时，f（x）在（0，1]上单调递减，
∴f_min（x）=f（1）=a；
当0＜

1

a

≤1即a≥1时，f（x）在（0，

1

a

]单调递减，在[

1

a

，1]单调递增，
∴f_min（x）=f（

1

a

）=2-

1

a

∴g（a）=

a，0＜a＜1 2- 1 a ，a≥1

．

点评：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．