Question

已知函数f（x）=2x²+bx+c（b、c∈R）在x=-1处取得极小值m-2（m∈R且m≠0），设φ（x）=

f(x)

x2

，当x∈[-4，-2]时，函数φ（x）的最大值为

m2

32

+1，则实数m的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,二次函数的性质

专题：导数的综合应用

分析：由函数f（x）=2x²+bx+c（b、c∈R）在x=-1处取得极小值m-2（m∈R且m≠0），得

f′(-1)=0 f(-1)=m-2

，解得b=4、及c=m，故有φ（x）=

f(x)

x2

=

2x2+4x+m

x2

=2+

4

x

+

m

x2

，
再由φ（x）=

f(x)

x2

，当x∈[-4，-2]时，函数φ（x）的最大值为

m2

32

+1，利用导数研究函数φ（x）的单调性求得最大值，列出关于m的方程解得即可．

解答： 解：∵f（x）=2x²+bx+c（b、c∈R）在x=-1处取得极小值m-2，
∴

f′(-1)=0 f(-1)=m-2

即

-4+b=0 2-b+c=m-2

解得

b=4 c=m

，
∴f（x）=2x²+4x+m，φ（x）=

f(x)

x2

=

2x2+4x+m

x2

=2+

4

x

+

m

x2

，
∴φ′（x）=-

4

x2

-

2m

x3

=-

4x+2m

x3

=0得，x=-

m

2

，
∴x＜-

m

2

时，φ′（x）＞0，x＞-

m

2

时，φ′（x）＜0，
①当-4＜-

m

2

＜-2即4＜m＜8时，当x=-

m

2

时，函数φ（x）=

f(x)

x2

有最大值，
由φ（-

m

2

）=2-

8

m

+

4

m

=

m2

32

+1，即1-

4

m

=

m2

32

，
∵4＜m＜8时，0＜1-

4

m

＜

1

2

，

1

2

＜

m2

32

＜2，故此时方程无解；
②当-

m

2

≤-4，即m≥8时，φ（x）在[-4，-2]上是减函数，则有
φ（-4）=1+

m

16

=

m2

32

+1，解得m=2又m≥8，故此时无解；
③当-

m

2

≥-2，即m≤4时，φ（x）在[-4，-2]上是增函数，则有
φ（-2）=

m

4

=

m2

32

+1，即m²-8m+32=0，∵△=64-4×32＜0，故此时方程无解；
综上所述：满足条件的m的值不存在．
故答案为：∅．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于中档题．